Контрольная работа вариант №8 – Особенности применения метода наименьших квадратов

Ознакомительная часть с решением задач по предмету: “Математические методы анализа экономики”. Вариант из методического пособия №8.

Дорогие студенты и гости нашего сайта, обращаем Ваше внимание! В случае, если условия данных задач Вам не подходят, напишите нам. Мы поможем Вам с решением задач любой сложности, а также с написанием курсовых работ по любым предметам.

Решение задания №1. Особенности применения метода наименьших квадратов.

Если вектор х является решением системы (1), то все ясно: данные подтверждают теорию. Такой случай, однако, встречается редко. Поэтому считается, что полученные данные х не опровергают теорию, если вектор х является хотя бы приближенным решением системы (1). Уточним смысл приближенного решения. Назовем i-й ошибкой системы (1), связанной с вектором х, следующую разность:

еi=(аi1x1+ai2x2+…+ainxn)-bi.

Пусть функция ошибки S(x) задана одной из формул (2), (3), (4) или еще каким-либо образом. Произвольный вектор х считается приближенным решением системы (1), если связанная с ним ошибка S(x) не превосходит заранее заданного критического значения εкр. Нетрудно видеть, что приближенное решение системы (1) сводится к отысканию точки х*, в которой функция S(x) принимает наименьшее значение (то есть точки минимума).

Решение задания №2. Решить задачу графическим методом.

Строим область допустимых значений. На графике она заштрихована. Максимальное значение 216 целевая функция будет принимать в точке С (24;0). Оптимальной будет точка С с координатами х1=24; х2=0.

Решение задания №3. Решить задачу методом больших штрафов.

Введем искусственные переменные r1, r2, r3, с коэффициентами равными единице. Эти переменные являются базисными. За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый «штраф» величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается. При этом в задаче минимизации в выражение целевой функции добавляются искусственные переменные с большим положительным коэффициентом М.

Поскольку, r1 и r2 – базисные переменные, то в целевой функции их быть не должно и вместо искусственных переменных в целевой функции мы будем использовать их выражение из ограничений.

Z=Mr1+Mr2+x1+3×2+x3=M(36-9×1-18×2-6х3+S1)+M(28-7×1-4х2-2×3+S2)+x1+3×2+x3=х1(1-16M)+х2(3-22M)+х3(1-8M)+MS1+MS2+64M
Z-x1(1-16M)-х2(3-22M)–х3(1-8M)-MS1-MS2=64M

Решение задания №4. Решить транспортную задачу.

Решим транспортную задачу методом потенциалов. В результате получен первый опорный план, который является допустимым. Число занятых клеток таблицы =6, а должно быть m+n-1=5+3–1=7, тогда заполняем клетку (2;3) значением 0.

Определим значение целевой функции: Z=10*1+3*5+12*5+0*7+8*2+12*3+15*1=159. Проверим оптимальность плана. Для этого найдем потенциалы αi, βj по занятым клеткам таблицы по формуле αi + βj = Сij. При этом предположим, что α1 = 0.